Henry Koster est né Herman Kosterlitz à Berlin, en Allemagne, le 1 er mai 1905. Son grand-père maternel était un ténor célèbre de l’opéra Julius Salomon (décédé des suites d’une tuberculose dans les années 1880). Son père était un vendeur de dames non déclarées qui quitta la famille alors qu’Henry était jeune, le laissant pour subvenir aux besoins de sa famille. Il réussit toujours à terminer son gymnase à Berlin tout en travaillant comme écrivain et dessinateur de nouvelles. Il a été initié au cinéma en 1910 lorsque son oncle Richard a ouvert une salle de cinéma à Berlin et que sa mère y allait tous les jours jouer du piano pour accompagner les films. Henry l’accompagna – la garderie étant alors inexistante – et dut s’asseoir quelques heures par jour pour regarder l’écran de cinéma.
Il a connu le succès en tant que scénariste à 17 ans. Il a été embauché par une société de cinéma berlinoise en tant que scénariste. Il est devenu assistant du réalisateur Curtis Bernhardt . Bernhardt tomba malade un jour et demanda à Henry de diriger (c’était vers 1931 ou 1932). Il avait réalisé deux films à Berlin pour Aafa lorsque Adolf Hitler est arrivé au pouvoir. Il était en train de diriger Das häßliche Mädchen(1933) à ce moment-là, et déjà victime d’antisémitisme, il savait qu’il devait quitter l’Allemagne, et bientôt. Tous les doutes qu’il entretenait au sujet de son départ étaient effacés lorsqu’un jour, dans une banque à l’heure du déjeuner, un officier sud-africain lui insultait; Henry a frappé le nazi si fort qu’il l’a assommé. Il se rendit directement à la gare et prit un train pour la France. À son arrivée en France, il est réembauché par Bernhardt (qui est parti plus tôt). Finalement, Henry se rendit à Budapest et rencontra et épousa Kató Király (1934). C’est là qu’il a rencontré le producteur Joe Pasternak , qui représentait Universal Pictures en Europe et avait réalisé quatre films pour lui.
En 1936, il a signé un contrat avec Universal et a été amené à Hollywood avec Pasternak, plusieurs autres réfugiés et son épouse. Au début, il avait eu des problèmes au studio (il ne parlait pas anglais), mais avait fini par convaincre Universal de le laisser faire Three Smart Girls (1936) avec Deanna Durbin et l’entraîneur de Durbin, âgé de 14 ans. La photo a été un énorme succès et a tiré Universal du bord de la faillite. Son deuxième film, Cent hommes et une fille (1937), avec Durbin et Leopold Stokowski , place Universal, Durbin, Pasternak et lui-même au sommet. Il a fait de nombreuses comédies musicales et comédies familiales à la fin des années 1930 et au début des années 1940, beaucoup avec Betty Grable., Durbin et d’autres stars de la musique de l’époque. Il resta à Universal jusqu’en 1941, puis travailla pour MGM. Vers 1948, il passa à 20th Century-Fox. Il a été nominé pour un Academy Award pour The Bishop’s Wife (1947).
En 1950, il réalise son plus grand succès: la comédie James Stewart Harvey (1950), mais, bien que de nombreuses personnes de l’industrie pensent qu’il serait nominé pour le meilleur film, ce ne l’était pas. Il réalisa le premier film américain dans lequel apparut Richard Burton , My Cousin Rachel (1952), puis fut assigné par Fox à la réalisation de sa première image de CinemaScope, The Robe(1953), également avec Burton, qui remporta un énorme succès. Il a réalisé quelques autres drames de costumes, tels que Désirée (1954) avec Marlon Brando , puis est revenu à des comédies et des comédies musicales familiales, telles que Flower Drum Song (1961) pour Universal. Après avoir terminé The Singing Nun (1966), il s’est retiré de l’industrie cinématographique à Leisure Village, Camarillo, en Californie, pour se consacrer depuis toujours à la peinture. Il a réalisé une série de portraits des stars de cinéma avec lesquelles il a travaillé.